[Математика ғажабы] Сымдарды кесеміз

«Пән ғажабы неде» жобаның барлық мақалалары
«Математика ғажабы» циклдың басқа мақалалары
Визуалды дәлелдемелер
Байес теоремасы
Ойлаудың көркемдігі
Геометриямен жасырынбақ ойнау
Шексіздік
Пифагор теоремасы

Мектеп күндерінің бірінде робототехника мұғалімі өзінің бойкүйез оқушыларын замырсыз микросұлбамен бетпе-бет тастап, шай ішуге кетеді. Микросұлбада \(2000\) контактілер бар және бастапқыда кез-келген екі контакт бөлек сыммен жалғанған. Бір қарағанда назарды қажет етпейтін микросұлба, бірақ күтпеген жерден ол Азамат пен Вовканың көңілдерін өзіне баули кетті. Иә-иә, өте жақсы көретін мұғалімдерінің миларын жеп, рахаттанатын сол жан қияр айырылмас екі дос ойын ойнамақ болған екен.

Бұзықтар сымдарды кезекпен кесе бастайды. Азамат бір жүрісте бір сымды кесе бастаса, әділдікте жұмысы жоқ Вовка бір кескенде бір немесе үш сымды бірақ кеседі. Басқа контактілерден сымдар шығып тұрса да, қандай да бір контактінің соңғы сымын кескен оқушы жеңіледі. Осы екеуінің қайсысы дұрыс және бастысы әділ ойында (бұл Вовка қулық жасамау үшін өзін-өзі ұстағап тұрған кезде) жеңер екен?

Қарбалас басталсын!

Алаяқ Вовка қулық жасамауға уәде беріп алып, миын жүз пайызға жұмыс істетпек болды. Оның тапқыр басында қарапайым емес, қу математикалық жоспар туындап жатқандығын кім білсін?! Ол барлық контактілерді ойша төрт топқа бөлді: \(A\), \(B\), \(C\) және \(D\) Сондай-ақ, нағыз данышпан ретінде ол әр топтағы контактілерді ойша \(1\)-ден \(500\)-ге дейін нөмірледі. Өкінішке немесе қуанышқа орай, Азамат арамтамақ қарсыласына қарағанда жәй интуициясына сенген қарапайым бозбала болатын. Сондықтан Азамат сымдарды арам ойсыз оңды-солды кесе берді.

Бұл уақытта Вова Азаматтың кез-келген жүрісіне \( A_k, B_k, C_k\) және \(D_k\) контактілеріне әр \(k\) нөмірі үшін бірдей сымнан шығатындай етіп жауап берді. Ойын басталғанға дейін бұл шарт әлбетте орындалады (Вовканың бір немесе үш сымды кесетіндігін ұмытпаңыз). Дәл осы шарттың арқасында айлакеріміз Вовка бишара Азаматтың жүрісіне әрдайым жауап беру мүмкіндігіне ие болады. Сөйтіп, ойын Вовканың пайдасына шешілді.

Азаматтың жан тері төгіліп отырса, сыныптастары Вовканың қалай жеңіп кеткенін түсіне алмай, у-шу болып, сыбырласып қоймайды, ал біздің айлакер (әлде айлакер емес пе екен?) мырс ете түсті. Тек бұрышта тыныш отырған Бейбарыс ғана болған оқиғаның барлығын ұғып, қатты таңырқап қалды... Абыржып көзілдірігінің әйнектерін сүртіп, кабинеттен қолынан келгенше тез жүгіріп шықты. Дәретханадағы қол жуғыштың шүмегін қосып, жан түршігерлік естеліктер көз алдынан кетпегенше бетін сумен ыса бастады.

"Егер Азамат бір топтың контактілерінің арасын, мысалы,\(A_i A_j\) сымын кессе, Вова \(B_i B_j\), \(C_i C_j\) және \(D_i D_j\) сымдарын кеседі. Егер Азамат түрлі топтағы түрлі нөмірлі контактілердің арасындағы сымды кессе, мысалы, \(A_i B_j\) сымын, онда Вова жауап ретінде \(A_j B_i\), \(C_i D_j\) және \(C_j D_i\) сымдарын кеседі.

Егер де Азамат түрлі топтағы, бірақ бірдей нөмірлі контактілердің арасындағы сымдарды кессе, мысалы, \(A_k B_k\) сымын, онда Вовка \(C_k D_k\) сымын кеседі."

Бейбарыстың сыныптастары оның біртүрлі қылығын талқылап, таңқалды. Бірақ олар Бейбарыстың Вованың стратегиясын аңғарғандығын ұққан жоқ еді. Алайда бишара Бейбарысты әлі де мазалап тұрған «Мұндай жүрістер қалай мүмкін бола қалды?» деген сұрақ көкейінен кетпейді.

Бейбарыс өзінің айнадағы бейнесіне қарап, қажымай «Қалайша болғаны?» деп іштей сыбырлай берді. Бір сәтте ол түсіне кетті:

«Әрине! Мұндай жүрістерді Вова жасай алады: қандай да бір контактінің бір сымын кесу мүмкіндігінен тура сондай нөмірлі түйіспелерден бір сымын кесу мүмкіндігі туады. Өйткені, әркез Вованың жүрісінен кейін \(A_k, B_k, C_k\) және \(D_k\) контактілерінен бірдей сымдар шығады. Басқаша айтқанда, егер де Вова бір контактіден сымдар шықпайтындай етіп жасаса, ол олай тек сондай нөмірлі контактіден нөл сым шыққанда ғана жасайтын еді. Өзінің стратегиясына байланысты Вовка шығатын сымдардың санын теңестірмек болды, ал бұл Азамат бұдан бұрын қандай да бір контактінің сымын кесіп қойды дегенді білдіреді. Яғни, Вова әрдайым жүріс жасай алады және сымдардың саны бітетін болғандықтан, Азамат қалай тырысса да, жеңіледі...»

Өзінің тапқыр жаңалығына таңырқап тұрған Бейбарыс артындағы есік қалай сықырлағанын байқамай қалды. Айнада жылт еткен күңгірт сұлба түнерген дауыспен: «Артық нәрсені білетіндерге не болатынын екеуіміз де білеміз, солай емес пе?» — деді.

Осымен аяқталды!

Бұл оқиғада кімның орнында болғыңыз келер еді? Сабақ уақытында шәй ішіп жүрген робототехника мұғалімінің бе, әлде босқа сандалып жүргенді жақсы көретін Азаматтың ба? Не Вовканың жеңуінің құпиясын ашуға тырысқан қауқарсыз сыныптастардың ба? Әлде Вовканы әшкерелеген, бірақ оның жасырын айласын ашуға қорыққан Бейбарыстың ба?

Ал егер жауабыңыз данышпан жоспарлар құратын ессіз Вовка болса, онда «Пән ғажабы неде» мақалалар циклы мен Beyond Curriculum дәл сіздерге арналған! Біздің олимпиадалық математикаға дайындалу топтамамызда, тіпті, Вовка шеше алмаған бұдан да қызық тапсырмаларды таба аласыз!

Бұл тапсырма \(1999\) жылғы математика пәні бойынша өткен Бүкілресейлік Олимпиададан алынған.

«Beyond Curriculum» қоры «Пән ғажабы неде» циклы материалдарын «Караван знаний» жобасымен серіктестікте және «Шеврон» компаниясының қолдауымен жариялауда. «Караван знаний» – жетекші қазақстандық және халықаралық сарапшылардың қатысуымен орындалған алдыңғы қатарлы білім тәжірибелерін зерттеу мен талқылау бойынша бастама.

Аударған: Аяулым Төребекқызы

Редактор: Дильназ Жемісбек