[Математика ғажабы] Визуалды дәлелдемелер

«Пән ғажабы неде» жобаның барлық мақалалары
«Математика ғажабы» циклдың басқа мақалалары
Байес теоремасы
Ойлаудың көркемдігі
Сымдарды кесеміз
Геометриямен жасырынбақ ойнау
Шексіздік
Пифагор теоремасы

«Математик болу үшін не істеу керек?» деген сұраққа америкалық-венгерлік статистик, Пол Холмош, «Математикада жетістіктерге жету үшін адам елестете алу қабілетімен туылуы қажет» деп сенімді жауап берген. Визуалды дәлелдер немесе сөз қажет етпейтін дәлелдер деп оқырманға кейбір математикалық мәлімдемелердің дұрыстығын және ең бастысы оның дәлелдемесін түсінуге көмектесетін суреттер мен диаграммаларды айтамыз. Кейбір визуалды дәлелдер біраз математикалық теңдеулерде ойларымызды қажетті жаққа бағыттауға көмектеседі, бірақ та үлкен назар тек қана логикалық дәлелдерге әкелетін визуалды түспалдарға ғана емес, сонымен қатар логика мен математикалық ойлау жүйесін дамытатындарына да аударылады.

Пифагор теоремасы

Бәріне мектеп табылдырығынан белгілі және әйгілі Пифагор теоремасында «гипотенузаның квадраты екі катеттің квадраттарының қосындысына тең» деп айтылады. Бұл теореманы алғаш дәлелдеген Пифагор екендігін нақты айтуға болмайтын шығар, сірә. Оның кем дегенде \(114\) әртүрлі дәлелдеу әдістері бар. Солардың бірін үнді математигі Бхаскара (шамамен \(1114-1185\)ж.) қарапайым суретті (cурет \(1\)) салып, «Міне!» деп көрсетті.

Ежелгі үнді математиктерінің арасында сөзді дәлелдер аса танымал болмаған, оның орнына олар визуалды дәлелдерді жақсы көрген. Ғалымдардың айтуынша, дәл осы ежелгі Үндістанда визуалды дәлелдер туралы алғашқы түсінік туа бастаған.

Бхаскара келтірген визуалды дәлелдемеге кіріспес бұрын тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларын \(a, b, c\) деп суретте көрсетілгендей етіп белгілеп, одан кейін түгел фигураның ауданын қарастырайық.

Бір жағынан, ол үлкен квадраттың ауданына тең: \(c^2\). Екінші жағынан, ол қалған барлық фигуралардың аудандарының қосындысына тең, яғни төрт тікбұрышты үшбұрыштар мен ортадағы кішкенкентай квадраттың аудандарының қосындысы. Әр үшбұрыштың ауданын белгілі аудан формуласымен есептейік: \(\frac{a\cdot b}{2}\). Онда барлық төрт үшбұрыштың аудандарының қосындысы \(4 \cdot \frac{ab}{2} = 2ab\) болады. Ортадағы кішкентай квадраттың қабырғасы \(b-a\) болатынын байқау қиын емес. Демек оның ауданы — \((b-a)^2\). Осыдан үлкен квадраттың ауданы \(2ab+(b-a)^2 = a^2 + b^2\) екені шығады. Теорема дәлелденді.

P.S. Бiздiң қолданған тәсiл екi әдiспен есептеу деп аталады және көптеген математик олимпиадашыларға таныс!

Шексiз кемімелі геометриялық прогрессия

«Саны шексіз болатын математиктер барға кірген екен. Біріншісі бір стақан сыраға тапсырыс береді. Екіншісі жарты стақан сыраға, үшіншісі төрттен біріне. Сонда бармен: «Мен сендей қуларды білемін. Бәріңе екі стақан жетеді!», -деп бәрінің алдына екі-ақ стақан сыра қойған екен. Бұл танымал математикалық әзілдердің бірі шексіз кемімелі геометриялық прогрессиясының шың өмірдегі мысалын өте дәл сипаттайды. Осы математикалық әзілдің негізінде шексіз кемімелі геометриялық прогрессия қалай жұмыс жасайтынын түсінсек болады, сонда да оның визуалды дәлелдемесін қарап өтейік.

Жо,арыдағы суреттен бірлік квадраттың ауданы ішіндегі барлық бөліктерінің қосындысына тең екенін көре аламыз, яғни \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\) т. с. с. Қайтадан, теорема дәлелденді!

Екі бұрыштың қосындысының синусы

Қазір танымал тригонометриялық формулалардың бірі болып табылатын екі бұрыштың қосындысының синусын дәлелдейік:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha.$$

Суретте тіктөртбұрыштың ішінде гипотенузасы 1 болатын екі жұп бірдей тікбұрышты үшбұрыштар орналасқан. Жасыл үшбұрыштардың сүйір бұрышы \(\alpha\), ал қызылдарда — \(\beta\). Ортада бұрышы \(\alpha + \beta\) болатын ромб салынғанын байқай аламыз.

Ромбтың ауданы қабырғасының квадратын екi бұрыштың бiреуiнiң синусына көбейткенде шығатынын бiлемiз, яғни \( 1^2 \cdot \sin(α + β) = \sin(α + β) \)

Үшбұрыштарды жоғарыда көрсетiлгендей етiп қойып, ромбтың ауданы екi ақ түстi тiктөртбұрыштың ауданының қосындысына тең екенiн көремiз. Олар өз кезегiнде sin α cos β+sin β cos α — екі бұрыштың қосындысының синусы.

Кубтар қосындысы

Сандар теориясында тiзбектей орналасқан сандардың кубтарының қосындысы мен сол сандардың қосындысының квадраты арасында өте қызықты бiр байланыс бар. Ол келесiгiдей түрде көрсетiледi:

$$1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2$$

Осы таза алгебралық болып көрінетін фактінің индуктивті дәлелдемесінен бөлек визуалды дәлелдемесі де бар екен. Теңдіктің \(n=5\) мысалындағы дәлелін көрсетейік.

Алдарыңызда 1-ден 5-ке дейінгі әр сан әртүрлі түспен белгіленген, ауданы\(15 \times 15\)  болатын квадрат көрсетілген, (1 — сары квадрат, 2 — жасыл квадрат, 3 — көгілдір және т. с. с). Үлкен квадраттың ауданы \(  (1+2+3+4+5)^2\) екені көрініп тұр. Ескерілмеген кішкентай ақ шаршыларды жаңа квадраттарға айналдырамыз, ал шеткі екі тіктөртбұрыштар төмендегі суретте көрсетілгендей квадраттарды құра алады.

Осылайша үлкен шаршының ауданы қызыл түсті шаршылардың ауданы — \(5^2 \cdot 5\), көк түсті шаршылардың ауданы — \(4^2 \cdot 4\), ашық көк — \(3^2 \cdot 3\), жасыл — \(2^2 \cdot 2\) және соңғысы сары түсті шаршылардың аудандарының — \(1^2 \cdot 1\) қосындысына тең. Сонда біз келесідей теңдікті аламыз:

$$1\cdot 1^2+2\cdot 2^2+3\cdot 3^2+4\cdot 4^2+5\cdot 5^2=$$

$$=(1+2+3+4+5)^2$$
Ал сол жақтағы мән — сол кубтардың қосындысы. n-ның басқа мәндері үшін де осы дәлелдеуді қолданамыз.

Нүктелер мен сызықтар

Барлық толық квадраттардың (натурал сандардың квадраттарының) бір қызық қасиеті бар. Оларды тізбектей орналасқан тақ сандардың қосындысы ретінде алуға болады, яғни \(1+3+5+...+(2n−1) = n^2\). Осы қасиеттің дұрыстығын \(n = 5\) болғанда көрсетейік. 25 нүктеден құралған торды алайық:

Барлығы тек \(5^2\) нүкте бар екенiн байқаймыз. Осы нүктелердi мынандай сызықтармен өзара қосайық:

Нүктелер санын басқа жолмен санасақ, ол өменгі сол жақтағы бір нүктемен бірге осы түрлі түсті сызықтар бойындағы нүктелер қосындысына тең, яғни \(1+3+5+7+9\). Осы жерден біз бастапқы теңдікке қол жеткіземіз.

\(n\)-ге дейiнге сандардың қосындысы

Кубтар туралы болған мысалдағыдай, кесте сызайық. Бұл жолы бiр жағы \(n\), екiншi жағы — \(n + 1\) болатын тiктөртбұрыш.

Суреттен бiздер \(1+ 2+ 3+· · ·+n\) қосындысы жасыл шаршылар санына тең екенiн көре аламыз. Ал тiктөртбұрыштың ауданы \(n\cdot (n+ 1)\), алайда төртбұрыштың тек жартысы жасылға боялғандықтан бiз iздеп отырған қосындымыз — \( \frac{(n(n+1)}{2}\) екенiн айта аламыз. Бұл дегеніміз натурал сандардың қосындысының белгілі формуласы.

Қысқаша көбейту формуласы

Бәрiне таныс — \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\) формуласының визуалды дәлелдемесiн жасап көрсек:

Жоғарыдағы суретте қабырғасы \(x\) болатын үлкен, сол жақ бұрышынан қабырғасы \(y\) болатындай етiп шаршы қиылған квадраттың суретi көрсетiлген. Осылайша, оның жалпы ауданы x 2 ¯y 2 тең. Жасыл тiктөртбұрышты оң жақтағы суретте көрсетiлгендей етiп оң жақ шетке қоятын болсақ 2.9 онда бiз толық тiктөртбұрышты ала аламыз. Оның ауданы x − y болады, ал бұл бастапқы фигура ауданына тең x + y .

Жоғарыдағы суретте қабырғасы \(x\) болатын үлкен шаршыдан оң жақ жоғары бұрышынан қабырғасы \(y\) болатын кішірек шаршы қиылған. Осылайша оның жалпы ауданы (\(x^2-y^2\) )-қа тең. Жасыл тіктөртбұрышты төмендегі суретте көрсетілгендей етіп оң жақ шетке қоятын болсақ, толық тіктөртбұрыш аламыз. Оның ауданы \(x-y\) (бір қабырғасы) пен \(x + y\)—тің(екінші қабырғасы) көбейтіндісіне тең.

Биссектриса квадратты қақ екiге бөледi

Қазір алгебралық жазбаларды шетке қоя тұрып, бір қызық геометриялық фактіге тоқталайық.

Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан шыққан биссектриса гипотенузаға тұрғызылған шаршыны бірдей екі бөлікке бөледі. Бұл тұжырымдаманың дұрыстығын түсіну үшін, конструкцияны келесі суреттегідей салып, аяқтау керек. Өздеріңіз байқағандарыңыздай, биссектриса шынымен де квадратты теңдей екі бөлікке бөледі!

Қаншалықты қарапайым естілгенімен де, адамдардың өте күрделі тұжырымдарды қарапайым суреттердің негізінде елестете және түсіне алу қабілеті өзінің күштілігі мен тереңдігі бойынша өте керемет, сондықтан адам санасының еншілігінде жасырылған бұл мүмкіншілік әрдайым математикада пайдалы болады. Визуалды дәлелдемелер жазбалық дәлелдемелерді керемет толықтырады.

Визуалды дәлелдемелер әрқашан берілген аксиомаларға негізделген логикалық әдістерді қолданбаса да, дәл осы дәлелдемелер математиканың «тұманды», әрі түсініксіз жақтарын түсінуге көптен-көп көмегін тигізеді. Одан бөлек визуалды дәлелдемелер математикалық дәлелдемелердің прогресі нәтижемен қатар маңызды екенін көрсете отырып, математикалық ойлау мен адамзаттың табиғи қызығушылығын арттырады.

Практика

Көптеген визуалды дәлелдемелерді талдап шыққандықтан, өздеріңізге бірнеше математикалық фактілерді дәлелдеуді ұсынамыз. Ол үшін сіздер суреттерге мұқият қарап, бірнеше дәлелдемені түсініп және шығарып алуларыңыз керек.

\[1^2+2^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

\[1-3+5-7+\dots \pm (2n-1)=\]\[=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)(-1)^k=n(-1)^{n-1}\]

Осыған ұқсас суреттерді осыдна және осында таба аласыз.

«Beyond Curriculum» қоры «Пән ғажабы неде» циклы материалдарын «Караван знаний» жобасымен серіктестікте және «Шеврон» компаниясының қолдауымен жариялауда. «Караван знаний» – жетекші қазақстандық және халықаралық сарапшылардың қатысуымен орындалған алдыңғы қатарлы білім тәжірибелерін зерттеу мен талқылау бойынша бастама.

Аударған: Жанболат Сәбитов

Редактор: Дильназ Жемісбек