[Математика ғажабы] Пифагор теоремасы

Ulan Seitkaliyev

20 дек. 2021 г. • 10 мин. чтения

«Пән ғажабы неде» жобаның барлық мақалалары
«Математика ғажабы» циклдың басқа мақалалары
Визуалды дәлелдемелер
Байес теоремасы
Ойлаудың көркемдігі
Сымдарды кесеміз
Геометриямен жасырынбақ ойнау
Шексіздік

Математика тек формулалар ғана емес. Математика — бізді қоршайтын барлық нәрселер. Онда теоремалар мен аксиомаларды білу ғана емес, фундаментал қағидаларды түсініп, сезе білу де маңызды. Мұндай фундаментал білім қатарына мектепте геометрия сабақтарында танысатын Пифагор теоремасы кіреді. Алайда оқу бағдарламасы кейде теореманың өзінің сұлулығы мен көркемдігін қарастырмай кетеді, ал олардың рөлі үшбұрыштардың қабырғаларын анықтағаннан әлдеқайда маңыздырақ. Пифагор теоремасы ғылым мен техникада сансыз көп қолданысқа ие, оның рөлін асыра бағалау мүмкін емес.

Бұл мақалада біз Пифагор теоремасының тарихымен танысып, Ежелгі Мысырда тік бұрыштар қалай сызылғандығын, пифагорлық үштік деген не және катеттердің квадраттарының қосындысы туралы қарапайым теоремада жасырылған математика қандай тылсым күшке ие екендігін білетін боламыз.

Пифагор теоремасының тарихы

Пифагор теоремасы:

Кез келген тік бұрышты үшбұрышта гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең: \[c^2=a^2+b^2 \]

Пифагордың есімі қазір катеттердің квадраттары мен гипотенуза туралы теоремасымен біржола байланысты болғанына қарамастан, біздің қолымызда Пифагордың осы теореманы ашып, дәлелдегендігі туралы жазбаша айғақтар жоқ. Плутарх пен Цицерон секілді көне замандардың авторлары теореманы нақты Пифагор қортып шығарған деп есептесе де, оны тұңғыш ашқан адам деп атай алмаймыз. Біз теореманың б. з. д. $VI$ ғасыр мен б. з. $V$ ғасырының аралығындағы Пифагор математикасының ежелгі дәуіріне жататындығын шүбәсіз білеміз.

$XX$ ғасырда Месопотамияда археологтар тапқан қарапайым саз тақтайша ежелгі грек ғалымының біріншілігіне қарсы. Ол теореманы Пифагор туылғанға дейінгі $1000$ жыл бұрын вавилондық математиктер аша алғандығын көрнекі түрде көрсетеді.

Вавилондық саз тақтайша шамамен б. з. д. $1800$ жылы жазылған, ал бұл теореманың Пифагор туылғанға дйеін мың жыл бұрын ашылғандығының айғағы. Дереккөзі

Plimpton $322$ ретінде танымал бұл саз тақтайша шамамен б. з. д. $XIX-XVI$ ғасырмен белгіленген. Онда тік бұрышты үшбұрыштарды құрайтын кесінділердің ұзындықтарының $15$ үштігі жазылған: $(3, 4, 5)$, $(28, 45, 53)$ және $(65, 72, 97)$, бірақ $(12709, 13500, 18541)$ үштігі болса да, $(5, 12, 13)$ немесе $(8, 15, 17)$ жоқ! Мұндай үштіктерді жай қарапайым іріктеу арқылы алу іс жүзінде мүмкін емес, сондықтан ғалымдар тақтайшаның авторы $1000$ жылдан кейін ашылған Пифагор формуласы арқылы соларға ұқсас үштіктерді қалай алу керек екендігін білген деп жорамалдайды. Сонымен қатар, Plimptom $322$ сол дәуірдің әкімшілік (математикалық емес) құжаттарының үлгісінде жазылған. Осы сияқты «қоғамдық» құжатта пифагорлық үштіктердің болуы Пифагор теоремасының Қосөзен тұрғындары үшін математикалық жаңалық болмаған, вавилондықтар оны күнделікті өмірде белсенді қолданған.

Бүгінде Пифагор теоремасына байланысты есептер мен деректер б. з. д. VII–V ғ. ежелгі үнді трактаттары «Сульва Сутрада» да, б. з. д. III–I ғ. «Чжоу-би Суань Цзинь» ежелгі қытай шығармаларында да, сонымен қатар, Аменемхет I перғауынының мысырлық уақыт дереккөздерінде (б. з. д. $2300$ ж.) кездесетіндігі мәлім. Пифагор теоремасы ежелгі заман математиктерінің ойларынан орын алғандығы таңғаларлық. Біздің заманымызда бар $370$-ке жуық алуан-түрлі дәлелдің өзі қаншалықты құнды!

Теореманың дәлелденуі

Қолданымдағы математикалық пайымдаулардың бірі де дәлелдерінің саны бойынша Пифагор теоремасына ілесе алмайды. Алғашында $1927$ жылы бұл дәлелдердің барлығы бір үлкен математикалық кітапқа жиналған болатын және онда салыстырмалылық теориясы үшін екі он жылдықтан кейін осы теореманы қолданатын $12$ жасар Альберт Эйнштейннің, Леонард да Винчидің және АҚШ-ның жиырмасыншы президенті Джеймс Абрам Гарфилдтың дәлелдері енгізілді.

Әйгілі теореманың қарапайым және әдемі дәлелдерінің бірімен сіз «Математика ғажабы неде» циклының «Көрнекі дәлелдер» мақаласында танысқан боларсыз. Ал мұнда біз бір суретті қолданып, теореманың алгебралық дәлелін көрсететін боламыз.

$a+b$ қабырғалы квадрат сызайық, ал ішінде сол жақтағы суретте орналасқандағыдай $a$, $b$ каттетері мен $c$ гипотенузасы бар $4$ тікбұрышты үшбұрыш бар. Үлкен квадраттың ауданына әртүрлі көзқараспен қарайық: бір жағынан, ол $(a+b)^2$ -қа тең, ал екінші жағынан, сол 5 бөліктің аудандарының қосындысына тең. Ақ квадраттың ауданы $c^2$-қа тең, ал төрт қоңыр тік бұрышты үшбұрыштың әрбірі $\frac{a \cdot b}{2}$-ға тең. Онда \[c^2+ 2ab = (a+b)^2 =a^2+b^2 + 2ab.\] Осылайша, \[c^2=a^2+b^2.\] теорема дәлелденді!

Теорема кері бағытта да орындалады: егер үшбұрыштын қабырғалары үшін белгілі $a^2+b^2 = c^2$ орындалса, онда бұл сөзсіз тік бұрышты үшбұрыш!

Пифагорлық үштіктер

Тік бұрышты қалай сызуға болады? Қазір бұл сұрақтың жауабы өте айқын болып көрінеді: не транспортир мен сызғыштың, не тор көз дәптердің көмегімен. Ал Ежелгі Мысырдың дәптер туралы да, транспортир туралы да білмейтін құрылысшысы не істейді? Ол әлбетте Пифагор теоремасын қолданады (әйтсе де оны бұлай атамас еді).

Тік бұрыштарды сызу үшін ежелгі мысырлықтар Пифагор теоремасы бойынша тік болып табылатын $3-4-5$ үшбұрышын қолданды. Басында олар арқанды алып, оны $12$ $(3+4+5=12)$ бірдей бөлікке бөлетін белгілерді жасап, кейін арқандардың соңын байлаған. Одан соң $3-4-5$ қабырғалы үшбұрыш ретінде созған. $3$ және $4$ қабырғаларының арасындағы бұрыш тік болып шығатын, керегі де сол! Нәтижесінде $3-4-5$ қабырғалы үшбұрыш өзінің алғашқы пайдаланушыларының құрметіне египеттік ұшбұрыш деп аталып кетті.

Алайда тік бұрыштарды тек египеттік үшбұрыш арқылы ғана емес, қабырғалары Пифагор теоремасын қанағаттандыратын кез келген тікбұрышты үшбұрыш арқылы да сызуға болады. Егер ондай үшбұрыштың қабырғалары бүтін сан болып табылса, оларды пифагорлық үштіктер деп атайды. Сондай үштіктердің бірнешесін келтірейік:\[3^2+4^2=5^2, 5^2+12^2=13^2, \] \[8^2+15^2=17^2, , 9^2+12^2=15^2\]Сіз сөзсіз оларды өмірде кездестірдіңіз, әсіресе, мұғалімдер тапсырмаларды ыңғайлы бүтін сандармен жасауға тырысқандағы математикадан бақылау жұмыстарында.

Барлық пифагорлық үштіктер бір-біріне ағалы-інілілер секілді ұқсайтындығы қызық. Пифагорлық үштіктер аттас теоремадан қалай шығатындығын көрейік. Теңдеуімізге оралып, қандай да бір $a, b, c$ пифагорлық үштіктерін алайық:\[c^2=a^2+b^2\]Ал енді тура сондай үшбұрышты қарастырайық, бірақ оның қабырғалары екі есе көп болсын: $2a,2b,2c$. Сондағы алатынымыз:\[(2c)^2=(2a)^2+(2b)^2 \Rightarrow 4c^2=4a^2+4b^2 \Rightarrow c^2 = a^2+b^2.\]Сонда кішірек үштіктен шыққан бұл үлкен үшті те пифагорлық болады. Мысалы, $6-8-10$ үшбұрышының сызықтық шамалары $3-4-5$ египеттік үшбұрышынан $2$ есе көп болады. Қабырғаларды кез келген басқа санға көбейтіп, жаңа пифагорлық үштіктерді құрайтын басқа шамаларды аламыз. Осылайша, $9-12-15$ үшбұрышы египеттік үшбұрышты $3$ есе үлкейткенде пайда болады, ал $150-200-250$ — $50$ есе көбейткенде. Мұндай үштіктер ұқсас деп аталады, себебі олар масштабтан басқа қасиеттері бойынша ерекшеленбейді, ал пифагор үштіктерінің қатарының негізі болып табылатын бастапқы үштік қарапайым деп аталады.

Пифагор теоремасын жалпылау

Жиі теоремалардың математиктерге белгілі формула орындалатын шектеулер мен шарттар шеңбері бар. Пифагор теоремасының өзі тек тікбұрышты үшбұрыштар үшін дұрыс және тек жазықтықта ғана орындалады, яғни екіөлшемді кеңістікте. Ал бұл шарттарды айналып өтуге бола ма? Жалпы болатын теоремаларды қалай ойлап табуға болады? Шын мәнісінде, бұл сұрақтар жүзжылдықтар бойы зерттеуші математиктердің көпшілігінің негізгі қамы, себебі бізге әркезде жаңа шектеулерді қабылдауға тура келеді. Нақты шарттың мысалынан жаңа алшақтарға теоремалар мен формулаларды енгізу үшін көмекке математикалық шығармашылықтың әдістерінің бірі жалпылау келеді. Осылайша қатал тек жазықтықтардағы тікбұрышты үшбұрыштар үшін орындалатын Пифагор теоремасының кем дегенде $2$ жалпыламасы бар.

Косинустар теоремасы

Пифагор теоремасын жалпылаудағы алғашқы табиғи қадам тек тікбұрышты үшбұрыштар үшін ғана емес, барлық басқа үшбұрыштар, доғалбұрышты мен сүйірбұрышты, үшін де қабылдауды алу болып табылады. Үшбұрышытың бір қабырғасын оның екі басқа қабырғасын және олардың арасындағы бұрышты білгенде қалай жазуға болады? Косинустар теоремасы көмектеседі!

Бізге $a, b$ қабырғалары мен олардың арасындағы $\theta$ бұрышы белгілі болғанда біз c қабырғасын жаза аламыз және мынадай түрдегі теңдеуді аламыз: \[c^2= a^ 2 +b^2 - 2ab \cdot \cos{\theta} \]

$\theta = 90^{\circ}$-қа тең тікбұрышты үшбұрыш үшін бұл пайымдау Пифагор теоремасына алып келеді, себебі $\cos{(90^{\circ})} = 0$, яғни \[c^2= a^ 2 +b^2 - 2ab \cdot \cos{90^{\circ} } = a^ 2 +b^2 - 2ab \cdot 0 = a^ 2 +b^2\]

Параллелепипедтің диагоналі

Тіктөртбұрыш жазықтықта орналасқанда оның диагоналін табу үшін Пифагор теоремасын қалай қолдану керектігін түсіну оңай: тіктөртбұрышты екі бірдей үшбұрышқа бөлетін диагональ жүргізіп, кейін оның диагоналін (гипотенузаны) Пифагор теоремасы арқылы табу қажет. Бұл жалпылау екіөлшемді кеңістік үшін жүреді. Ал біздің үшөлшемді кеңістікте жүргізуге болады ма?

Паралеллипипедтің $l$ диагоналінің ұзындығы оның қабырғаларының ұзындығымен келесідей байланысты: $l^2=a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2$

Параллелипипедтің диагоналін алайық. Оның ұзындығын қалай таба аламыз? Пифагор теоремасы мұнда да көмектеседі екен: диагональді табу үшін бізге теореманы екі рет қолдансақ жетеді. Параллелипипедтің ізделінді диагоналі суретте қызыл кесендімен көрсетілген. Оның ұзындығын $l$ деп, ал көк кесіндіні $d$ деп белгілейік. Көк кесінді қабырғалары $a$ мен $c$-ға тең негіздегі қарапайым тіктөртбұрыштың диагоналі екендігін байқауға болады. Пифагор теоремасы бойынша алатынымыз:

\[d^2 = a ^ 2 + c ^ 2 \] Енді қызыл кесінді гипотенузасы, ал қабырғалары $d$ мен $b$ катеттері болып табылатын үшбұрышты да қарастыруымызға болады. Онда Пифагор теоремасы арқылы алатынымыз: \[ l^2 = d ^ 2 + b^2\] Негіздегі үшбұырыштан алынған бірінші теңдеуді еске түсіріп, біз өрнекті былай қайта жаза аламыз:
\[ l^2 = d ^ 2 + b^2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2.\]Нәтижесінде үш квадраттың қосындысы пайда болады, ал бұл үшөлшемді кеңістік үшін Пифагор теоремасы болып табылады.

Пифагор теоремасын, тіпті, $n$-квадраттардың қосындысы шығатын $n$-өлшемді кеңістік үшін де жалпылауға болатындығы қызық.\[d^2 = d^2_1 + d^2_2 + d^2_3 + \cdots + d^2_n\]

Шың өмірде теореманың қолданысы

Құрылыс

Тіктөртбұрыштың қабырғалары белгілі болғанда Пифагор теоремасы диагональдің ұзындығын табуға мүмкіндік береді. Теореманың бұл қолданысы құрылыста, ағаш өңдеу мен басқа да сәулет жобаларында көп пайдаланылады. Бір кішігірім мысалды қарастырайық: салынып біткен ғимарат үшін (суретін төменде қараңыз) қосеңісті шатыр салу керек деп болжайық. Сізге жабу қажет шатырдың биіктігі мен ені белгілі болса, шатырдың ұзындығын табу үшін Пифагор теоремасын қолдана аласыз. Мысалы, егер шатырдың биіктігі $2880$ миллиметр, ал ені $3300$ миллиметр болса, Пифагор теоремасы бойынша:
\[c^2=a^2+b^2 =19184400 = 4380^2\]Демек, шатырдың ұзындығы $4380$ миллиметр болуы керек, ал бұны құрылыс материалдарының қажетті мөлшерін сатып алу үшін қолдануға болады.

Шатырдың ұзындығын Пифагор теоремасы бойынша табуға болады: $4380^2 = 2380^2 + 3300^2$

Қысқа жол

Көптеген «Мен қысқа жолды білемін» деген сөздерден басталатын көптеген оқиғалар танылған. Бірақ Пифагор теоремасы қысқа жол әлдеқайда ұзын болып шыққанда кенет күтпеген былықтарды жоя алатындығын кім білсің. Үйге жету үшін сізде дайын бағдар бар, алдымен оңтүстікке $120$ метр, ал кейін батысқа $50$ метр деп елестетейік. Бұл бағдар бойынша өтілетін жалпы қашықтық $170$ метрді құрайды. Үйге жетудің басқа жолы үшбұрыштың үшінші қабырғасының бойымен оңтүстік-батысқа қарай жүру болып табылады. Егер қашықтықты өлшеу үшін Пифагор теоремасын қолданатын болсақ, алатынымыз:
\[ 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900 = c^2 \Rightarrow c = \sqrt{250000} = 130.\]
Онда бұл үшбұрыш бағдардың гипотенузасы бойымен серуен $170-130 = 40$ метрге катеттері бойымен серуенге қарағанда қысқарақ болады.

Ұқсас есептеулер барлық үшбұрыштар үшін, тіпті, тікбұрышты емес үшбұрыштар үшін де дұрыс болады (үшбұрыштардың теңісіздігін еске түсіріңіз). Алайда нақты тікбұрышты үшбұрыштардың жағдайында Пифагор теоремасының арқасында үнемдей алатын уақыт пен жолды оңай есептей аламыз.

Бұл фактіні Катардағы Education City студенттері қолданады, сондағы Пифагор теоремасы бойынша бағананың артындағы жол қасында алоэ өсіп тұрған жолға қарағанда 1 метрге ұзынырақ екен

Әлеуметтік желілер

Пифагор теоремасының көмегімен кез келген $c^2$гипотенузасын екі кішірек $a^2 + b^2$ катеттеріне бөле аламыз. Шын мәнісінде гипотенуза кез келген нәрсе бола алады: ұзындық, энергия, жұмыс, уақыт мерзімі немесе тіпті әлеуметтік желідегі адамдар саны.

Әлеуметтік желілерде Пифагор теоремасын көру үшін алдымен әрбір тұтынушы үшін «желінің құндылығы» нені білдерітіндігін түсініп алайық: қандай да бір әлеуметтік желіде қаншалықты көп тұтынушы болса, соншалықты әрбір қатысушы үшін желі пайдалы болып саналады. Бұл құндылық тұтынушылар санына тікелей тәуелді, өйткені жаңа тұтынушының қосылуы адамдардың көбімен байланысуға мүмкіндік болып табылады. Ethernet желісінің құрылтайшыларының бірі — Роберт Меткалф — желінің құндылығының математикалық бірліктері туралы ресми түрде тұжырымдады, кейін бұл заңды оның атына өзгертті. Меткалф заңы бойынша:

Желінің пайдасының математикалық бірлігі бұл желінің тұтынушыларының санының квадратына пропорционал.

Бұл заңға сәйкес $50$ миллион адамнан тұратын желі $40$ және $30$ миллион адамнан тұратын әлеуметтік желілердің қосындысымен тең бағалы. Ешнәрсене еске келген жоқ па? $3-4-5$ қабырғалы египеттік үшбұрышы — қарапайым пифагорлық үштік. $2$-ші және $3$-ші әлеуметтік желілерде барлығы $70$ миллион адам бар, бірақ бұл желілер біртұтас болып табылмайды. Демек, $50$ миллион адамнан тұратын желі екі басқа желіні бірге алынғандағымен бірдей құнды.

Осылайша Пифагор теоремасы шиеленісіп кеткен әлеуметтік желілер мен олардың құндылықтарын реттейді.

Кітаптарды сұрыптаймыз

Әдетте кітапханалар мен кітап дүкендеріндегі кітаптар әліпби ретімен қойылады. Кітапхана мен дүкен әркез кітаптардың жаңа топтамасын қабылдағанда оларға бұл кітаптарды сұрыптап А-дан Я-ға дейін дұрыс ретпен қойып шығу керек. Кітаптарды сұрыптауға көмектесетін аралықтық әрекеттерінің саны әртүрлі көптеген әдістер бар. Ең оңай жолдардың бірі — барлық кітаптардың аттарын қарап, дұрыс әліпби ретінде бірінші болуы керек кітапты тауып, кейін оны сөреге санақ бойынша бірінші етіп қою керек. Содан соң екінші болуы керек кітапты тауып, сөреге бірінші кітаптан кейін қою керек. Осылайша үшінші, төртінші және ақырында $n$-ші кітапты қоямыз. Кітаптарды қойып шығып, біз әліпби ретімен жиналған дұрыс қатарды аламыз. Қорытындысында орналастыру барысында саны өте көп кітаптар үшін жасалған әрекеттер саны шамамен кітаптар санының квадратына пропорционал болады. Дәл осы қасиет Пифагор теоремасы мен белгілі қарапайым үштіктерді қолдануға көмектеседі:

$\ 50 \text{ кітап үшін уақыт} = \ 40 \text{ кітап үшін уақыт} + \ 30 \text{ кітап үшін уақыт}.$

Бұл кез келген объектті сұрыптауда жұмыс жасайтын болатындығын ескертеміз. Егер әрекеттердің жалпы санын қарастырып, Пифагор теоремасын қолдансақ, қызық нәрсе байқалады: $50$ объект үшін жасалатын әрекет саны $40$ және $30$ объектілерді бірге алғандағы үшін жасалатын әрекет санына тең. Басқаша айтқанда, екі топқа бөлінген $70$ объектіні сұрыптау бір топтағы $50$ объектіні сұрыптағандай тез болады. Бұл өзара байланысты ескере отырып, біз элементтерді бөлек топтарға тиімдірек бөліп, ал кейін топшаларды сұрыптаймыз. Дәл мұндай амал расында да жалпы қолданыстар сұрыптауының ең үздік әдістерінің бірі — тез сұрыптауда — қолданылады.

Қорытынды

Пифагор теоремасы — бұл жай формула ғана емес. Пифагор теоремасы — әлемді өзгерткен катеттердің квадраттарының гипотенуза квадратына тең қосындысы. Бастамасын пифагорлық математика дәуірінен алатын, вавилон ғалымдары немесе расында да Пифагор қорытып шығарған қарапайым теңдік үлкен, әрі ұлы бір нәрсені, яғни, адам өркениетін құрды. Ежелгі Мысыр мен Месопотамия, үйлер құрылысы және роман мен гот соборларының сәулеті, заманауи әлеуметтік желілер, радарлар мен навигаторлар — барлығы адаммен байланысты және тура солай Пифагор теоремасына да қатысты. Ал математикада Пифагор теоремасы ерекше орынға ие және оның еселік теңдігі нағыз математика Пифагор теоремасы сияқты ғажайып, көркем және қызықты екендігіне сенімді барлық уақыттардың ғалымдарының толғаныстарына еркін кеңістік береді.

Бұл мақаламен «Математика ғажабы неде» циклын аяқтаймыз. Көрнекі дәлелдердің, ықтималдықтардың және олардың Байес теоремасымен байланысын, $2000$ сымды кескен Вовка мен Азаматтың, сонымен қатар жұмбақ шексіздіктің әсемдігі туралы жарияланымдарымыз сізге математикаға басқа көзбен қарауға көмектесті және осы ғажайып ғылым әлеміне кезекті қадам болды деп сенеміз.

«Beyond Curriculum» қоры «Пән ғажабы неде» циклы материалдарын «Караван знаний» жобасымен серіктестікте және «Шеврон» компаниясының қолдауымен жариялауда. «Караван знаний» – жетекші қазақстандық және халықаралық сарапшылардың қатысуымен орындалған алдыңғы қатарлы білім тәжірибелерін зерттеу мен талқылау бойынша бастама.

Аударған: Аяулым Төребекқызы

Редактор: Дильназ Жемісбек