[Математика ғажабы] Ойлаудың көркемдігі

«Пән ғажабы неде» жобаның барлық мақалалары
«Математика ғажабы» циклдың басқа мақалалары
Визуалды дәлелдемелер
Байес теоремасы
Сымдарды кесеміз
Геометриямен жасырынбақ ойнау
Шексіздік
Пифагор теоремасы

«Математикаға деген дұрыс көзқарас шындықты ғана емес, сонымен қатар мүсін сияқты суық та, қатал, адамға тән әлсіздіктерден шеттетілген, бейнелеу өнері мен музыканың көркем тәсілдерінен айырылған сөзсіз сұлулықты, таулық кристалдылық пен қатаң мінсіздікті ашады» — Бертран Рассел

Кеннигсбергтің жеті көпірі

Он сегізінші ғасырда Шығыс Пруссияда Прегель өзенінің жағасында атақты Кенигсберг қаласы, кейінгі Калининград тұрды. Қаланың төрт бөлігі — Кнайпоф, Альтштадт, Ломзе, Форштадт — жеті көпірмен байланысқан еді. Кенигсбергтің шексіз көшелерімен серуендеп жүріп, тұрғындарда бір сұрақ туады: «Әрбір көпірден бір рет қана өтіп, қаланың кез келген жеріндегі бастапқы нүктеге қайтып келуге болады ма?». Кенигсбергтің жеті көпірі туралы танымал ойжұмбақтың мазмұны да осындай. Оның Дублиннің бір ауданынан екіншісіне пабтың жанынан өтпей жетуге болатындығы не болмайтындығы туралы сұралатын дублиндік ойжұмбақпен таңқаларлық ұқсастығын атап өтпесе болмайды.

Математикада осыған ұқсас есептерді шығару үшін абстракттануды қолданған ыңғайлы. Сондықтан қала бөліктерін нүктелерге, көпірлерді сызықтарға, ал бөліктердің атауларын \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)-ға алмастырайық. Сонда келесідей сурет пайда болады:

\(A\) нүктесін біздің бастапқы нүктеміз деп есептейік. Эйлер әрбір көпірден бір рет қана өтіп, алғашқы нүктеге қайтып келу үшін бастапқы \(A\) нүктесімен байланысқан көпірлердің нақты санын білу керектігін аңғарды.

\(A\) нүктесінен саяхатымызды бастап, сол жерге қайтып келу үшін \(A\) нүктесінен қандай да бір көпір арқылы шығып, \(A\)-ға басқа көпірден қайтып келу керек, кейін қайта шығып және солай қайта-қайта жасау керек. Осыдан көрініп тұрғандай, \(A\)-ға апаратын барлық көпірлер кіру мен шығудан тұратын жұптарға бөлінеді. Дегенмен сызбадан көрініп тұрғандай, \(A\)-мен байланысқан көпірлер саны тақ, яғни бір көпір жұпсыз қалады. Демек, осы сияқты «жалғыз» көпірден аттанған Кенигсберг тұрғыны \(А\) нүктесіне қайтып келе алмас еді. Сонымен, көпір саны тақ болғандықтан \(A\) нүктесінен шығып, қайта қайтып келу мүмкін емес: бір көпір жетіспейді. Келтірілген дәлел тек шартты \(A\) нүктесіне ғана емес, тақ санды көпірлер санымен байланысқандықтан басқа да нүктелер үшін немесе қаланың басқа бөліктері үшін де орындалады.

Эйлердің шешімі — математика тарихындағы талғампаз дәлелдің көрнекті мысалы. Ол шығарған тривиальді ойжұмбақтың шешімі телекоммуникациялық желілерді, компьютерлік сызбаларды, күрделі кестелер мен т. б. заттарды жобалау мен түсіну мүмкін болған графтар теориясы деп аталатын математиканың мүлдем жаңа саласының пайда болуына әкелді.

Кенигсбергтің жеті көпірі туралы ойжұмбақтың бүгінде кездестірген көптеген ғалым-математиктер бағыттардың сан миллиондаған нұсқаларын құрастыруда ойжұмбақты ойша шығарғаннан гөрі, компьютерді қолдануды жөн деп санар еді. Әлбетте, соңында компьютердің әр көпірді бір рет ғана өтіп, бастапқы орынға қайтып келу мүмкін емес деген қорытындыға келіп, көгілдір экранға «мүмкін емес» деген сөзді көрсетері айдан анық. Бірақ жұрдай, нақтылық пен әртістіліктен айырылған компьютердің шешімі кербездікке ие ме? Олар неге мүмкін еместігін түсіндіріп, оның үстіне жаңа, батыл идеялар мен күтпеген түсініктерге алып келеді ме? Эйлердің тәсілі, керісінше, «неге» деген сансыз сұрақтарға жауап беріп қана қоймайды, сонымен қатар Кенигсбергтің жеті көпірі туралы ойжұмбақты «бас қатырып» шешкен математиктің арқасында пайда болған графтар теориясының таңғажайып, әрі жаңа әлеміне де есік ашады. Алайда Эйлердің алғашқы компьютерді кездестіре алмағандығы да жақсы болған екен!

Гаусс әдісі

XVIII ғасырдың соңында неміс бала Карл Гаусс өзінің алғашқы арифметика сабағына қатысты. Бір кезде мұғалімге кенеттен оқушыларды біраз уақытқа қалдыру керек болды. Жас тентектерге тапсырма беріп қоюды шешкен мұғалім оларға \(1\)-ден \(100\)-ге дейінгі барлық сандарды қосып шығуды ұсынды. Мұғалім енді сынып табалдырығынан аттай бастағанда жас Гаусс күрделі есепті шығарып болып, қолын көтерді. Болашақ математика ғалымы \(1 + 100 = 101\), \(2 + 99 = 101\), \(3 + 98 = 101\), \(\dots\), \(50 + 51 = 101\) екендігін байқап, осыған байланысты \(1\)-ден \(100\)-ге дейінгі барлық сандардың қосындысы \(50\) мен \(101\)-дің көбейтіндісіне, яғни \(5050\) болатындығын аңғарды.

Гаусс тапсырмада біртұтас жұмыс істейтін сандардың симметриясын дәл қолдана алды. \(1 + 2 + 3 +\dots\) кезектеп қосу сандарды жұпқа бөлуге қарағанда ұзақ уақыт алатыны анық, ал бұлай барлығы әлдеқайда оңай, әрі анығырақ болады.

Әрине, екі амал да бір жауапты береді, бірақ Гаусстың шешімі құнды да, кербез, ал басқасы ұзақ, әрі қиын шешіледі. Сондай-ақ Гаусстың әдісі бірден есептеуге қарағанда әлдеқайда тиімді және әмбебап: симметрия туралы идеясы тек осы есепке ғана қатысты болмағандықтан, оны басқа да күрделірек есептерді шешуде қолдануға болады. Жас оқушы бола тұра Гаусс өте қарапайым, бірақ әдемілігінен айырылған есептеулердің арасынан көркемдікті іздеп таба алды.

Сенбілік серуен

Сенбілік серуен біртүрлі көрінетін ойжұмбақ. Бір қарағанда математикамен ортақ ештеңесі жоқ болып көрінгенімен, математкалық ойлау сұлулығының жақсы мысалы болып саналады. Сонымен онда не делінген?

Сенбі күні таңғы тоғызда Арсен тау соқпағымен Данилдің үйіне жол тартады. Ол досының үйінде қонуға қалып, кейін тура сол жолмен таңғы тоғызда бірақ жексенбі күні үйіне оралады. Тау соқпағында Арсен жексенбі де, сенбі де күндері бір уақытта өтетін нүкте бар ма? Арсеннің кез келген күндегі жылдамдығына қатысты ешқандай болжамның жоқтығын ескеріңіз: сенбі күні ол \(5\) км/сағ, ал жексенбі күні \(6\) км/сағ-пен жүруі мүмкін, сондай-ақ Арсен кез келген күні баяулап та, жылдамдығын артыра да алады, тіпті тура жолдың үстінде үзіліс те жасай алады. Бір таңқаларлығы — Арсеннің жылдамдығы жайлы ешнәрсе білмеуіміз бұл ойжұмбақты шешуде маңызы жоқтығы.

Шешім стандартты емес пайымдауда жатыр: жексенбі күні таңғы тоғызда Арсен үйіне қайтқанда оған қарсы ағасы шықсын деп елестетіп көріңіз. Ол тура сенбі күнгі Арсен сияқты сол соқпақпен, сол жылдамдықпен жүрді. Белгілі бір Х мезеттен соң олар соқпақтың орта тұсына таман кездесетіндері анық, ал осы кездесу нүктесі біздің жауабымыз болады!

Термометрлер мен Барометрлер

Қазір бір кербез және ерекше математикалық негізі бар, ақылға сыймайтын және қиын көрінетін бір тұжырымды қарастырайық. Тұжырымдамада былай делінген:

Уақыттың кез келген сәтінде Жерде температура мен қысымның мәні сәйкес келетін диаметрлі қарама-қарсы нүктелер (антиподтар) бар.

Тіпті, бұл шындық болса да, осы нүктелердің бар екенін дәлелдеу өте қиын, солай ғой? Бірақ сонда да көрейік.

Алдымен екі термометр және Жер бетінен кездейсоқ екі қарама-қарсы \(A\) және \(B\) нүктелерін алайық, оған қоса нүктелер берілген уақытта әртүрлі температураны көрсетулері керек. \(A\) нүктесіндегі температура \(B\) нүктесіндегіге қарағанда жоғары деп ойлайық, (егер \(B\)-дағы темпаратура \(A\)-ға қарағанда жоғары болса да осы пайымдау жұмыс істейді). Енді термометрлердің орындарын Жердің центріне қатысты өз жолындағы кез келген нүктеге үнемі диаметрлі қарама-қарсы қалатындай етіп ауыстырамыз.

Ауыстыру кезінде екі температураның да көрсеткіші бірдей болатын ең болмағанда бір уақыт мезеті бар екеніне назар аударыңыз.

Осылайша біз уақыттың кез келген бөлігінде Жерде бірдей температуралы екі қарама-қарсы нүктенің бар екенін дәлелдедік.

Ары қарай не істеу керек? Сол үрдісті \(A\) және \(B\) антиподтарының шексіз жиынтығымен қайталай отырып, біз Жер бетіндегі бірдей температуралы осындай антиподтардың тұтас үзіліссіз жолағын аламыз. Керісінше болсын делік: үзіліссіз жолақтар жоқ, соған сәйкес аралықтар да жоқ. Онда бұл біз температура көрсеткіштері бірдей бола бастайтын қиылысуларды кездестірместен бұрын \(A\) мен \(B\) термометрлерінің орнын ауыстыра аламыз дегенді білдіреді, ал бұл өз кезегінде жоғарыдағы дәлелге байланысты мүмкін емес.

Енді осы жолақтан кез келген кездейсоқ екі қарама-қарсы нүктені алып, барометрдің көмегімен әрбір нүктедегі атмосфералық қысымды өлшейміз. Осы екі нүкте арасындағы барометрлердің орнын тек қана бірдей температуралы антиподтар жолағымен (мұндай жолақтардың барын біз жоғарыда дәлелдегенбіз) жүре отырып, бірқалыпты ауыстыра бастаймыз. Сонда қайтадан ауыстыру кезінде біз қысым графиктері қиылысатын ең болмағанда бір уақыт мезетін кездестіреміз, және дәл осы сәтте екі барометрдегі қысымдардың көрсеткіштері де бірдей болады.

Біз бұған дейін Жер бетінде изотермалық (бірдей температураға ие) жолақтармен қозғалғандықтан, осы қарама-қарсы нүктелердің жұбы бірдей температура мен қысымға ие болады.

Сонымен біз Жерде белгілі бір уақытта температура мен қысым мәндері бір-біріне сәйкесінше тең болатын қарама-қарсы нүктелердің ең болмағанда бір жұбы бар екенін көрсеттік. Дәлелдеу керегі де осы болатын!

Бұл тұжырымдама Борсук-Улам теоремасының жеке жағдайы бола тұра және практикалық қолданысы жоқ болып көрінгенімен, ол топологиядағы революциялық серпіліске айналды және «дұрыс» ойлай білсе, табиғаттағы мүмкін емес нәрселер мүмкін болатынын айқын түрде дәлелдеді.

Қорытынды

Математика — біз мектепте кездестіріп үйренген нәрсе емес. Математика — бұл жай сандар, әдістер мен формулалар ғана емес. Мүмкін әдістердің өзі сұлулықтан айырылған шығар, бірақ математикалық пайымдау өнері өзіне міндетті түрде шығармашылықты, қиялды, шабыт пен өнертапқыштықты қамтиды.

«Beyond Curriculum» қоры «Пән ғажабы неде» циклы материалдарын «Караван знаний» жобасымен серіктестікте және «Шеврон» компаниясының қолдауымен жариялауда. «Караван знаний» – жетекші қазақстандық және халықаралық сарапшылардың қатысуымен орындалған алдыңғы қатарлы білім тәжірибелерін зерттеу мен талқылау бойынша бастама.

Аударған: Арайлым Талғатқызы

Редактор: Дильназ Жемісбек