[Прелесть математики] Прятки с геометрией

Все статьи из цикла "В чем прелесть предмета"
Другие статьи из цикла "В чем прелесть математики":
  Визуальные доказательства
  Теорема Байеса
  Красота рассуждений
  Режем провода
  Бесконечность
  Теорема Пифагора

Принято считать, что любую геометрическую задачу можно решить аналитически. Действительно, если у вас достаточно опыта, то вы сможете с легкостью (а может и нет) составить декартовую или барицентрическую систему координат и посчитать всю геометрию «числами».

И это вовсе неудивительно! Чем глубже изучаешь математику, тем быстрее становится понятно насколько непонятны или скорее расплывчаты границы между разными областями самой математики. Тогда возникает вопрос: можно ли решить негеометрические задачи геометрией? И ответ на него:

Да, да, и еще раз да!

Главной чертой геометрии всегда была ее наглядность, что очень помогает в решении любых задач. Геометрический подход к задачам — это мощный «инструмент», который передавался из поколения в поколение. Еще в древние времена, когда не существовало волшебных программ вроде Wolfram Alpha и Photomath, люди объясняли большинство математических операций и свойств объектов с точки зрения геометрии.

Давайте вместе окунемся в представленные ниже примеры негеометрии и попробуем найти в них саму геометрию!

X и Y? Часть 1

Найдите наименьшее значение дроби \( \frac{x}{y}, если \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1 \)

Что ж, на первый взгляд, геометрии здесь не наблюдается. Но если я скажу, что данную задачу вы можете решить, начертив геометрические фигуры (нет, не пентаграмму), то это будет чистейшая правда.

Рассмотрим выражение в левой части. Оно имеет смысл только если \(x \geq1\) и \( y \geq 1\), иначе под корнем будут отрицательные значения. Кроме того, значение каждого из корней не превосходит \(1\), что означает — \(x \leq 2\) и \(y \leq 2\).

Закончив с определением интервала значений \(x\) и \(y\), давайте мы перейдем к гвоздю всей программы — геометрическому представлению решения уравнения.

Представим график заданного уравнения в декартовой системе координат. Он лежит целиком в квадрате \(ABCD\) (см. рис. ниже).

Выражение \(\frac{x}{y}\) принимает наименьшее значение только в том случае, когда значение \(x\) наименьшее из возможных, а значение \(y\) — наибольшее. Из всех точек квадрата \(ABCD\) этими условиями удовлетворяет только точка \(B(1; 2)\). График заданного уравнения содержит точку \(B\), так как при подстановке ее координат в это уравнение получается верное числовое равенство.

Значит ответ равен \(\frac{1}{2}\).

X и Y? Часть 2

Разогрелись? Идем дальше!

Найдите наименьшее значение выражения: \(|x-y|+\sqrt{(x-3)^{2}+(y+1)^{2}} \)

Как вы поняли из предыдущей задачи, когда имеются две неизвестные переменные \(x\) и \(y\), полезно построить график в декартовой системе координат. И это именно то, что мы собираемся сделать прямо сейчас!

Рассмотрим на координатной плоскости точку \(A (3; -1)\) и прямую \(y=x\) (см. рис.). Пусть \(M(x;y)\), тогда \(\sqrt{(x-3)^{2}+(y+1)^{2}} = MA\).

Напомним, что расстояние между точками \(A(x;y)\) и \(B(m;n)\) на координатной плоскости определяется как \(AB = \sqrt{(x-m)^{2}+(y-n)^{2}}\)

Заметим, что если точка \(M'\) симметрична точке \(M\) относительно прямой \(y=x\), то \(M'(y; x)\). Таким образом, для этих двух точек значение выражения \(|x-y|\) одно и то же. Поэтому меньшее расстояние от \(А\) будет у той из точек, которая лежит с точкой \(A\) в одной полуплоскости относительно прямой \(y=x\). Искомая точка \(M\) лежит ниже этой прямой, и тогда \(|x-y|=MN\), где \(N\) — точка пересечения \(y=x\) с горизонтальной прямой, проходящей через точку \(M\). Значит,по неравенству треугольника \(MA+MN \geq AN\), точка \(M\) должна лежать на отрезке \(AN\), а наименьшее значение длины \(AN\) достигается, если \(N\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(A\) на прямую \(y=x\).

Теперь осталось найти координаты \(N.\) Угловой коэффициент прямой \(y=x\) равен \(1\), поэтому угловой коэффициент прямой \(AN\), ей перпендикулярной, равен \(-1\), то есть ее уравнение имеет вид \(y=-x+с\).

Напомним, что когда две прямые перпендикулярны друг другу, произведение их угловых коэффициентов равно \(-1\).

Эта прямая проходит через точку \(A (3; 1)\), поэтому \(c=2\). Решением системы уравнений \(\left. \begin{cases} y=x, \\ y=-x+2 \\ \end{cases} \right.\) является \(\left. \begin{cases} x=1, \\ y=1 \\ \end{cases} \right.\), значит прямые \(y=x\) и \(y=-x+2\) пересекаются в точке \(N(1;1)\). Тогда \(AN = \sqrt{(1-3)^{2}+(1+1)^{2}} = 2\sqrt{2}\) — это именно то, что нам нужно!

Ответ: \(2\sqrt{2}\).

Помогаем бедному Пете

В примерах выше было наглядно показано, как можно решить алгебраические задачи с умело использованной декартовой системой координат. Но не только в таких задачах к нам на помощь может прийти геометрия. Давайте рассмотрим, пожалуй, один из самых неочевидных способов применения геометрического подхода в задаче.

В полдень из Аннино и Ванино вышли навстречу друг другу Аня и Ваня, которые встретились через два часа. В 14:00 из Аннино вышел Петя, который догнал Аню через час, и в этот же момент в Аннино пришел Ваня. На самом деле Петя планировал выйти в полдень и встретиться с Ваней. В какое время произошла бы эта встреча?

В данной задачи нет \(x\) и \(y\) как в предыдущих, что наводило бы нас на мысль о построении системы координат. Однако легко понять, что в задаче говорится о движении, что так же можно представить в виде графика. Как это было на первых уроках по физике, давайте построим прямоугольную систему координат, показывающую изменение местоположения человека с течением времени.

Изобразим графики движения Ани, Вани и Пети в виде лучей \(AD\), \(BN\) и \(PD\) соответственно как показано на рисунке.

Координаты точек \(A\) и \(B\) по оси \(S\) представляют собой местоположение Аннино и Ванино. Так как Петя так же, как и Аня, вышел из Аннино, его начальная координата по оси \(S\) равна нулю. В точке \(D\) произошла встреча Ани и Пети, а в точке \(C\) — встреча Ани и Вани. Если бы Петя вышел одновременно с Аней, то его место встречи с Ваней была бы точка \(E\). Чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно определить координату точки \(E\) по оси \(t - K\).

Поскольку у Пети всегда постоянная скорость, то график \(AE\) планируемого движения Пети будет параллелен \(PD\). Так происходит потому, что скорость на данном графике движения определяется как градиент.

Аня и Ваня встретились через два часа после начала их движения,то есть они встретились в 14:00. К нашему счастью, в это же время Петя начал свой путь, что означает, что координата точек \(C\) и \(P\) по оси \(t\) одинакова и равна 14. Кроме того, раз встреча Ани и Пети произошла через час после начала движения Пети, то есть в 15:00, в тот же момент, когда Ваня дошел до Аннино, то координаты точек \(D\) и \(N\) по оси \(t\) аналогичным образом равны. Исходя из этого, мы можем с радостью сказать, что \(CP\), \(DN\) и ось \(S\) параллельны друг другу!

Рассмотрим треугольники \(ACP\) и \(ADN\). Они обладают общей вершиной \(A\) и \(CP\parallel DN\), а значит эти треугольники подобны. Тогда если предположим, что \(CP = x\), то из подобия будет следовать, что \(DN=1.5x\).

Так как ось \(S\) и \(CP\) параллельны, треугольники \(ABN\) и \(PCN\) так же подобны, из чего мы получаем, что \(AB = 3x\).

Ранее мы говорили, что \(AE\parallel PD\). Давайте теперь воспользуемся этим! Они параллельны, а также \(EK\) и \(DN\) перпендикулярны оси \(t\), что означает, что \(EK\) и \(DN\) параллельны! Следовательно, треугольники \(AEK\) и \(PDN\) какие? Правильно — подобные!

Пусть \(k\) — коэффициент подобия треугольников \(AEK\) и \(PDN\), тогда \(AK = k\), \(EK = 1.5kx\). Если мы рассмотрим треугольники \(BAN\) и \(EKN\), то можно ясно увидеть, что они подобны. Из этого вытекает, что \(\frac{1.5kx}{3x} = \frac{3-k}{3}\). Решением этого уравнения является \(k = 1.2\). Значит, время планируемой встречи — 13 часов и 12 минут.

X и Y уже не одни

После примеров выше может появиться обманчивое чувство, что в решении негеометрических задач геометрией нужно все время использовать координатную плоскость. На самом деле существует целое множество различных креативных геометрических подходов в решении задач, не требующих системы координат. И на один из примеров мы посмотрим прямо сейчас!

Докажите, что если \(0<x<1\), \(0<y<1\) и \(0<z<1\), то \(x(1-y)+y(1-z)+y(1-x)<1\)

Рассмотрим куб с ребром \(1\). Выберем три ребра, выходящих из одной вершины, и отложим на них отрезки с длинами \(x\), \(y\) и \(z\) (см. рис.).

Построим три прямоугольных параллелепипеда с размерами \(x \times (1-y) \times 1\), \(y \times (1-z) \times 1\) и \(z \times (1-x) \times 1\). Так как эти параллелепипеды не имеют общих внутренних точек, то сумма их объемов меньше, чем объем куба, равный 1. Их объемы равны: \(x(1-y)\), \(y(1-z)\) и \(z(1-x)\). Значит, \(x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1\) — что и требовалось доказать.

Получилось очень емкое, простое и несколько забавное решение! Поверьте, вы так же можете решать негеометрические задачи «по-необычному»! Отбросьте предубеждения об отдельно существующих разделах математики. Как бы странно это ни звучало, но математика — это именно то место, где нет никаких законов. Именно здесь вы можете экспериментировать и придумывать свои собственные метода и решения!

Играем в Лондоне!

Геометрия любит прятаться не только в задачах, написанных на бумаге, но и в реальной жизни. Чтобы проверить это, давайте переместимся в дождливый Лондон в Собор Святого Павла.

Шагая по круглой галерее великолепного собора, вы можете изумиться или даже испугаться различных звуков, которые возникли так же неожиданно, как и исчезли в ту же секунду, как только вы отошли на пару шагов. Моэтому это место и называют «Галереей вздохов». Так что именно заставляет вас услышать эти звуки?

Духи? Привидения? Магия вне Хогвартса?

На самом деле всего лишь математика. Тут-то и прячется наша геометрия. Давайте искать!

Я считаю до пяти, не могу до десяти. Раз, два, три, четыре, пять, я иду искать!

Что ж, думаю, вы уже поняли, что этот «шепчущий эффект» связан не с чем иным, как с архитектурой данного здания. Давайте посмотрим на фотографию «Галереи вздохов» Собора Святого Павла,дабы заметить ее главную особенность.

Как вы видите, данное помещение имеет эллиптическую форму. Благодаря такой форме, люди и поверили в магию внутри собора!

Если мы поищем что такое эллипс, то увидим следующее определение:

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек \(F_1\) и \(F_2\) равна постоянной величине. Точки \(F_1\) и \(F_2\) называют фокусами эллипса.

Из определения эллипса следует его оптическое свойство: прямые, соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Кроме того, из физики вам должно быть известно, что акустические волны распространяются подобно световым лучам — выходя из одного фокуса эллипса, где сосредоточен источник звука, волны собираются в другом его фокусе благодаря отражению об эллипс.

Таким образом, в помещениях эллиптической формы, слова, произнесенные шёпотом в одном из фокусов эллипса, будут услышаны только в другом фокусе, а не во всем помещении, причем шёпот будет услышан, даже если расстояние между фокусами весьма существенно.

Вот так мы опять раскусили геометрию, а также узнали как можно незаметно секретничать с другими людьми в зданиях эллиптической формы. Так что смело начинайте планировать будущий дом в форме эллипса, чтобы разыгрывать своих друзей!

Заключение

Многие недооценивают силу геометрии, считая, что она не особо может пригодиться в жизни. Но правда в том, что геометрия — кроткий раздел математики, полюбивший прятаться. Поэтому, чтобы понять всю суть геометрии, вам придется находиться в постоянных поисках. Эти поиски могут быть долгими и даже мучительными. Однако прелестью игры в прятки с геометрией является не сам ответ на задачу, а процесс поисков, наполненный захватывающими приключениями, и преградами, которые вы, конечно же, сможете преодолеть!

Использованная литература и веб-ресурсы:
А. Д. Блинков “Геометрия в негеометрических задач”
Википедия (https://ru.wikipedia.org/wiki/Шепчущая_галерея)

Фонд «Beyond Curriculum» публикует цикл материалов «В чем прелесть предмета» в партнерстве с проектом «Караван знаний» при поддержке компании «Шеврон». Караван знаний – инициатива по исследованию и обсуждению передовых образовательных практик с участием ведущих казахстанских и международных экспертов.

Редактор статьи: Дарина Мухамеджанова