[Прелесть математики] Визуальные доказательства

Все статьи из цикла "В чем прелесть предмета"
Другие статьи из цикла "В чем прелесть математики":
  Теорема Байеса
  Красота рассуждений
  Режем провода
  Прятки с геометрией
  Бесконечность
  Теорема Пифагора

Данная статья – первая публикация в цикле "В чем прелесть математики", в рамках которого мы расскажем вам об интересных и удивительных аспектах математики.

На вопрос, что нужно сделать, чтобы стать математиком, американо-венгерский статистик Пол Халмош уверенно отвечал, что для успехов в математике человек должен быть рожден со способностью представлять. Визуальные доказательства, или доказательства без слов, – это картинки или диаграммы, помогающие читателю понять, почему некоторое математическое утверждение может быть верным и, самое главное, как это доказать. Безусловно, в некоторых визуальных доказательствах парочка математических уравнений помогает направить поток размышлений в нужное русло, однако больший акцент все же делается на предоставлении визуальных подсказок, не только приводящих к логическому доказательству, но и отлично развивающих логику и математическое мышление.

Теорема Пифагора

"Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов", – гласит известная теорема Пифагора, знакомая каждому со школьной скамьи. Был ли Пифагор первым, кто доказал эту теорему, нельзя утверждать наверняка. Существует как минимум \(114\) самых разнообразных подходов к доказательству этой теоремы. Так индийский математик Бхаскара (ок. \(1114\)-\(1185\) г.) доказал теорему Пифагора, просто нарисовав эту картинку и сказав: «Вот!»

Среди древних индийских математиков практика словесного доказательства не пользовалась особой популярностью – они любили визуальные. Именно в древней Индии, как предполагают ученые, зародились первые понятия визуальных доказательств.

Прежде чем пускаться в визуальное доказательство теоремы Пифагора, предложенной Бхаскара, давайте для начала обозначим стороны прямоугольного треугольника \(a, b, c\) так, как показано на рисунке, а затем рассмотрим площадь всей фигуры.

С одной стороны, она равна площади большого квадрата – \(c^2\). С другой стороны, она равна площади всех составляющих ее фигур, т. е. сумме площадей четырёх треугольников и маленького квадратика. Вычислим площадь каждого треугольника по уже известной формуле: \(\frac{a\cdot b}{2}\). Тогда площадь всех четырех треугольников будет \(4 \cdot \frac{ab}{2} = 2 ab\). Не сложно заметить, что сторона маленького квадратика в центре равна \(b - a\). Следовательно, его площадь – \((b-a)^2\). Из всего этого выходит, что площадь большого квадрата равна \(2ab+(b-a)^2 = a^2 + b^2\). Теорема доказана.

P. S. Использованный нами метод называется подсчетом двумя способами и знаком многим олимпиадникам по математике!

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Одна известная математическая шутка метко обрисовывает ситуацию с бесконечно убывающей геометрической прогрессией: "Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый заказывает одно пиво. Второй – половину кружки, третий – четверть. Бармен отвечает: – Знаю вас всех хитрецов. Вам две кружки на всех!" Уже на основе этого математического анекдота можно примерно понять, как работает бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, но давайте все же рассмотрим ее визуальное доказательство.

Из рисунка видно, что площадь единичного квадрата равна суммарной площади всех составляющих его частей, т.е. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\) и так далее. Вновь теорема доказана!

Синус суммы

Сейчас давайте докажем одну из известных тригонометрических формул – синуса суммы двух углов \[\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha\] Взглянем на следующий рисунок.

Внутри прямоугольника расположены две пары одинаковых прямоугольных треугольников с гипотенузой \(1\). У зеленых треугольников острый угол равен \(\alpha\), а у красных – \(\beta\). Можно заметить, что в центре изображен ромб с углом при вершине равным \(\alpha + \beta\).

Площадь ромба, как мы знаем, равна квадрату стороны на синус одного из углов, т.е. \(1^2\cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha + \beta)\)

Переставив треугольники так, как показано выше, мы увидим, что эта же площадь ромба равна сумме площадей двух белых прямоугольников. А последнее и есть \(\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha\) – формула синуса суммы.

Сумма кубов

В теории чисел существует любопытная связь между суммой последовательных кубов набора натуральных чисел и квадратом суммы соответствующих чисел. Выглядит это следующим образом:

\(1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2\)

У этого, казалось бы, сугубо алгебраического факта помимо индуктивного доказательства есть еще и хорошее визуальное. Давайте покажем, как равенство работает на примере \(n=5\).

Перед вами квадрат площадью \(15\) на \(15\), где каждое число от \(1\) до \(5\) обозначено определенным цветом на каждой стороне (\(1\) – желтый квадрат, \(2\) – два зеленых, \(3\) – три бирюзовых квадрата и так далее). Очевидно, что площадь большого квадрата равна \((1+2+3+4+5)^2\). Неучтенные маленькие белые квадраты могут быть преобразованы в новые квадраты, а два прямоугольника могут быть преобразованы в квадраты так, как показано на рисунке ниже.

Таким образом, площадь всего квадрата равна сумме площадей красных квадратов – \(5^2 \cdot 5\), синих квадратов – \(4^2 \cdot 4\), голубых квадратов – \(3^2 \cdot 3\), зеленых – \(2^2 \cdot 2\) и наконец желтого квадрата – \(1^2 \cdot 1\). Тогда имеем следующее уравнение:\[1\cdot 1^2+2\cdot 2^2+3\cdot 3^2+4\cdot 4^2+5\cdot 5^2=\]\[=(1+2+3+4+5)^2\] А выражение слева и есть сумма кубов. Для других значений \(n\) доказательство аналогичное.

Точки и линии

‌У всех точных квадратов (квадратов натуральных чисел) есть интересное свойство – их можно представить в виде суммы последовательных нечетных чисел, т.е. \(1+3+5+...+(2n-1)=n^2\). Давайте покажем справедливость данного свойства при \(n = 5\). Рассмотрим такую сетку из точек.

‌

Заметим, что всего точек \(5^2\). Соединим эти точки линиями следующим образом.

То же количество точек, если посчитать другим способом, равно сумме точек, содержащихся в цветных линиях вместе с точкой в левом нижнем углу, т.е. \(1+3+5+7+9\). Отсюда и получили равенство.

Сумма натуральных чисел до \(n\)

Как и в примере с кубиками, нарисуем сетку. На этот раз прямоугольник с одной стороной \(n\), а другой –  \(n + 1\).

Мы видим, что сумма \(1 + 2 + 3 + … + n\) равна количеству зеленых квадратиков. Площадь всего прямоугольника равна \(n\cdot (n + 1)\), но поскольку только половина его окрашена в зеленый, мы можем сразу сказать, что искомая сумма равна половине площади – \(\frac{n(n + 1)}{2}\). А это и есть известная сумма натуральных чисел от \(1\)-го до \(n\).

Формула сокращенного умножения

Попробуем визуализировать эту всем знакомую формулу сокращенного умножения – \(x^2-y^2 = (x-y)(x+y)\).

Слева изображен большой квадрат со стороной \(x\) с вырезанным из правого верхнего угла маленьким квадратиком со стороной \(y\). Таким образом, его общая площадь равна \(x^2 - y^2\).

Переставив зеленый прямоугольник так, как показано на рисунке, мы сможем получить один целый прямоугольник, площадь которого запишется как \(x-y\) (одна сторона) умноженная на \(x + y\) (другую сторону).

Биссектриса делит квадрат пополам

Сейчас давайте отойдем от алгебраических записей к одному интересному геометрическому факту.

Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике так же делит на две равные части квадрат, построенный на гипотенузе. Чтобы понять, почему это утверждение верно, достаточно достроить конструкцию до следующей картины. Как вы можете заметить, биссектриса и вправду поделила на две равные части квадрат в центре!

Как бы просто это не звучало, человеческая способность представлять и понимать сложные концепты в картинках невероятна по своей силе и глубине, поэтому этот спрятанный в рукаве козырь человеческого сознания как никогда может быть полезен в математике. Визуальные доказательства отлично дополняют формальные словесные (письменные) доказательства.

Пусть визуальные доказательства не всегда используют логический метод на основе заданных аксиом, но именно они так умело добавляют ясности для лучшего понимания “туманных” серий математических выводов. Кроме того, визуальные доказательства способствуют развитию математического мышления и естественного любопытства человека, показывая, что математический прогресс доказательства так же важен, как и сам результат.

Практика

Рассмотрев множество примеров визуальных доказательств, предлагаю вам самим попробовать доказать некоторые математические факты. Для этого вам необходимо внимательно, всматриваясь в рисунок, понять и вывести несколько доказательств.\[1^2+2^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]

‌\[1-3+5-7+\dots \pm (2n-1)=\]\[=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)(-1)^k=n(-1)^{n-1}\]

Больше подобных изображений вы можете найти тут и тут.

Фонд «Beyond Curriculum» публикует цикл материалов «В чем прелесть предмета» в партнерстве с проектом «Караван знаний» при поддержке компании «Шеврон». Караван знаний – инициатива по исследованию и обсуждению передовых образовательных практик с участием ведущих казахстанских и международных экспертов.

Редактор статьи: Дарина Мухамеджанова.